Singulaari-integraalit, harmoniset funktiot ja reunojen säännöllisyys Heisenbergin ryhmissä
Päärahoittaja
Rahoittajan antama koodi/diaarinumero: 321696
Päärahoittajan myöntämä tuki (€)
- 438 874,00
Rahoitusohjelma
Hankkeen aikataulu
Hankkeen aloituspäivämäärä: 01.09.2019
Hankkeen päättymispäivämäärä: 10.02.2025
Tiivistelmä
Projektissa tutkitaan geometrisen mittateorian perusteita ja sovelluksia Heisenbergin ryhmässä, joka on eräs epäkommutatiivinen Lien ryhmä varustettua epäeuklidisella metriikalla. Heisenbergin ryhmän algebrallinen rakenne on runsas tutkimusongelmien lähde osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja sub-Riemannin geometrian tutkimuksessa. Monissa näistä ongelmista on kyse joukkojen reunan säännöllisyydestä:
- Kuinka säännöllisiä ovat isoperimetristen joukkojen reunat Heisenbergin ryhmässä?
- Minkälaisissa alueissa sub-Laplace -yhtälö voidaan ratkaista L^p-reuna-arvoilla?
Projektissa tutkitaan näitä ja muita samansuuntaisia ongelmia käyttäen singulaari-integraaleja ja kvantitatiivisen suoristuvuuden käsitteitä, joiden teoria on alkanut muotoutua Heisenbergin ryhmässä vasta viime vuosina. Euklidisissa avaruuksissa kvantitatiivisesti suoristuviksi kutsutaan esim. joukkoja, jotka sisältävät suuria paloja Lipschitz-kuvaajista. G. David ja S. Semmes loivat perusteet tällaisten joukkojen teorialle 90-luvulla, ja niitä on tutkittu aktiivisesti siitä lähtien.
Projektin yhtenä tavoitteena on siis kehittää kvantitatiivisen suoristuvuuden ja singulaari-integraalien teoriaa Heisenbergin ryhmässä. Toisena tavoitteena on soveltaa teoriaa kysymyksiin, jotka liittyvät harmonisiin funktioihin (esim. poistuvuus ja reuna-arvo-ongelmat) sekä alueiden reunojen säännöllisyyteen ja parametrisointiin (esimerkkeinä isoperimetriset joukot ja kvasipallot).
- Kuinka säännöllisiä ovat isoperimetristen joukkojen reunat Heisenbergin ryhmässä?
- Minkälaisissa alueissa sub-Laplace -yhtälö voidaan ratkaista L^p-reuna-arvoilla?
Projektissa tutkitaan näitä ja muita samansuuntaisia ongelmia käyttäen singulaari-integraaleja ja kvantitatiivisen suoristuvuuden käsitteitä, joiden teoria on alkanut muotoutua Heisenbergin ryhmässä vasta viime vuosina. Euklidisissa avaruuksissa kvantitatiivisesti suoristuviksi kutsutaan esim. joukkoja, jotka sisältävät suuria paloja Lipschitz-kuvaajista. G. David ja S. Semmes loivat perusteet tällaisten joukkojen teorialle 90-luvulla, ja niitä on tutkittu aktiivisesti siitä lähtien.
Projektin yhtenä tavoitteena on siis kehittää kvantitatiivisen suoristuvuuden ja singulaari-integraalien teoriaa Heisenbergin ryhmässä. Toisena tavoitteena on soveltaa teoriaa kysymyksiin, jotka liittyvät harmonisiin funktioihin (esim. poistuvuus ja reuna-arvo-ongelmat) sekä alueiden reunojen säännöllisyyteen ja parametrisointiin (esimerkkeinä isoperimetriset joukot ja kvasipallot).
Vastuullinen johtaja
Päävastuullinen yksikkö
Liittyvät julkaisut ja muut tuotokset
- A note on Kakeya sets of horizontal and SL(2) lines (2023) Fässler, Katrin; et al.; A1; OA
- Hardy spaces and quasiconformal maps in the Heisenberg group (2023) Adamowicz, Tomasz; et al.; A1; OA
- Vertical projections in the Heisenberg group via cinematic functions and point-plate incidences (2023) Fässler, Katrin; et al.; A1; OA
- Extensions and corona decompositions of low-dimensional intrinsic Lipschitz graphs in Heisenberg groups (2022) Di Donato, Daniela; et al.; A1; OA
- Loomis-Whitney inequalities in Heisenberg groups (2022) Fässler, Katrin; et al.; A1; OA
- Metric Rectifiability of H-regular Surfaces with Hölder Continuous Horizontal Normal (2022) Di Donato, Daniela; et al.; A1; OA
- Singular integrals on regular curves in the Heisenberg group (2021) Fässler, Katrin; et al.; A1; OA
